3. Poincaré és Lorentz csoport, O(1,1), O(1,3)
Megoldások
Tér és idő a klasszikus fizikában
Tér és idő a relativitás elméletben
/III. Feladat:
Különbözik-e egymástól a Poincaré csoport és a Lorentz csoport?
Megoldás:
Igen.Például az eltolások benne vannak a Poincaré csoportban, de nem
-ban.
/IV. Feladat:
Bizonyítsd be, hogy a Poincaré csoport (a fenti definícióval) valóban
csoport, valóban részcsoport.
Megoldás:
Az összes bijektív transzformációk csoportot alkotnak, elég tehát
belátnunk, hogy mind a Poincaré csoport, mind pedig
részcsoport lesz. Mindketten tartalmazzák az identitást, tehát csak
azt kell belátnunk, hogy mindketten zártak a kompozícióra és a inverz
elemképzésre nézve.
Világos, hogy a négyes távolság négyzetét megtartó transzformációk
kompozíciója, inverze szintén megtartja a négyes távolság
négyzetét.
Hasonlóan, az origót helyben hagyó transzformációk kompozíciója,
inverze szintén helyben hagyja az origót.
/12. Konvenció:
Mostantól két dimenziós téridőben dolgozunk.
Minden eseménynek van egy idő koordinátája és egy tér koordinátája:
.
Lorentz transzformációk
/15. Konvenció:
Mostantól az időt évben, a távolságot fényévben mérjük -- tehát a
fénysebesség: .
/VIII. Feladat:
Lásd be, hogy a és sebességhez tartozó Lorentz transzformációk
kompozíciója megegyezik a
sebességhez tartozó Lorentz transzformációval. Ezt hívják a fizikában
a sebességek addíciós tételének.
Megoldás:
Ez egy egyszerű számolás akár a Lorentz transzformáció
definíciójában szereplő képletet, akár a mátrix alakot használjuk.
Most a mátrix alakot választjuk. Be kell látni, hogy a két
Lorentz transzformáció mátrixának szorzata megfelelő alakú:
Látható, hogy mindkét oldal determinánsa 1, és
minden konstans szorzó pozitív.
Ezért elég belátni, hogy a bal oldalon szereplő két mátrix szorzata
egy pozitív konstans szorzó erejéig megegyezik a jobb oldalon látható
mátrixszal. Íme:
Ezzel beláttuk az állítást.
Persze nem szükséges a determinánsra hivatkozni,
közvetlenül összeszorozhatjuk a konstans tényezőket:
/X. Feladat:
Lássuk be, hogy a Lorentz transzformációk Abel csoportot alkotnak.
1. Megoldás:
A Lorentz transzformációk azonosíthatók a intervallum
számaival, a művelet:
Ez nyilván szimmetrikus, egységelem a , és inverze .
2. Megoldás:
A Lorentz transzformációk azonosíthatók az
alakú mátrixokkal, ahol valós számok, , és a determináns:
.
Világos, az egység mátrix köztük van, és ilyen mátrixok szorzata,
inverze is ilyen alakú:
A determinánsok is könnyen ellenőrizhetők: mindkettő 1. Azt kell még
ellenőrizni, hogy a főátlóban valóban pozitív számok állnak:
feltétel volt, és is teljesül, hiszen a
determinánsok 1 voltából látszik, hogy és ,
tehát .
Ezzel beláttuk, hogy a szorzás és az inverz képzés
nem vezet ki az ilyen mátrixok közül: valóban csoportot kaptunk. A
kommutativitás látható a fent kiszámolt szorzat mátrixból.
/XII. Feladat:
Ha ismered a
hiperbolikus függvényeket:
Lásd be, hogy tetszőleges valós számra az
mátrix éppen a sebességű Lorentz transzformáció
mátrixa.
Lásd be, hogy ez egy bijekció a valós számok halmaza és a Lorentz
transzformációk halmaza között. Lásd be, hogy művelet tartó:
. Tehát a Lorentz
transzformációk csoportja izomorf
(lásd a 4/3. definíciót)
a valós számok additív csoportjával.
Megoldás:
A mátrixból kiemelhető:
Ebből helyettesítéssel éppen a Lorentz transzformáció
mátrixát kapjuk.
/17. Megjegyzés:
Ez ad egy másik bizonyítást az addíciós tételre:
azonnal következik a függvény addíciós tételéből.
A Lorentz csoport vizsgálata két dimenzióban
/XVII. Feladat:
Lásd be, hogy az csoport elemei saját magukba képezik azokat
a hiperbolákat, amelyeknek az egyenlete
Megoldás:
Az origótól mért négyes távolság négyzete éppen ,
tehát transzformációi nem változtatják meg.